▪ Теорема Пифагора
Проведём из точки D отрезок DE, параллельный диагонали АС, тогда ∠BDE = ∠BAE = 90° , BE - диаметр окружности ⇒ АСDE - равнобедренная трапеция ⇒ CD = AЕ
В ΔВАЕ по т. Пифагора: AB² + AE² = BE² ⇒ AB² + CD² = ( BK² + AK² ) + ( CK² + KD² ) = BE² = ( 2R )² = 4R²
Значит, BK² + AK² + CK² + KD² = 4R²
или
Построим диаметр окружности ВЕ, тогда ∠ВАЕ = 90°
∠ВСА = ∠ВЕА - как вписанные углы, опирающиеся на общую дугу АВ
Из прямоугольных треугольников ВКС и ВАЕ следует, что ∠CBD = ∠ABE ⇒ CD = AE - как хорды, стягивающие равные дуги CD и АЕ
В ΔВАЕ по т. Пифагора: AB² + AE² = BE² ⇒ AB² + CD² = ( BK² + AK² ) + ( CK² + KD² ) = BE² = ( 2R )² = 4R²
Значит, BK² + AK² + CK² + KD² = 4R²
▪ Теорема синусов
Пусть ∠CDК = α , тогда ∠KCD = 90° - α
В ΔBCD по т. синусов: ВС/sinα = 2R ⇒ BC = 2R•sinα
В ΔACD по т. синусов: AD/sin( 90° - α ) = 2R ⇒ AD = 2R•cosα
BC² + AD² = ( 2R•sinα )² + ( 2R•cosα )² = 4R²•sin²α + 4R²•cos²α = 4R²•( sin²α + cos²α ) = 4R²
Значит, BK² + CK² + AK² + KD² = 4R²
