Требуется решить уравнение.

Решите задачу:

$\star \; \; \sqrt{A^2}=|A|\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \sqrt[4]{A^2}=\sqrt{\sqrt{A^2}}=\sqrt{|A|}\; \; \star \\\\\\\sqrt[4]{(x+1)^2}=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\\\\\sqrt{|x+1|}=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\\\\a)\; \; x+1\geq 0\; :\; \; |x+1|=x+1\; ,\; \; \sqrt{x+1}=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\; ,\\\\3\sqrt{x+1}=x+5\; \; \Rightarrow \; \; 9(x+1)=x^2+10x+25\; ,\\\\x^2+x+16=0\; ,\; \; D=-63<0\; \; \Rightarrow \; \; x\in \varnothing \\\\b)\; \; x+1<0\; ,\; x<-1\; :\; \; |x+1|=-x-1\; ,\; \; \sqrt{-x-1}=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$

$3\sqrt{-x-1}=x+5\; \; \Rightarrow \; \; 9(-x-1)=x^2+10x+25\; ,\\\\x^2+19x+34=0\; ,\; \; D=225\; ,\; \; x_1=-17\; ,\; x_2=-2\; .\\\\Proverka:\; \; x=-17:\; \; \sqrt[4]{(-16)^2}=\frac{-17}{3}+\frac{5}{3}\; ,\; \; 4=-4\; neverno\\\\x=-2:\; \; \sqrt[4]{(-1)^2}=\frac{-2}{3}+\frac{5}{3}\; ,\; \; \sqrt[4]{1}=\frac{3}{3}\; ,\; \; 1=1\; verno\\\\Otvet:\; \; x=-2\; .$