Даны координаты вершин пирамиды:
А(35,0,50), B(80,20,35), C(10,25,10), Д(50,65,80).
1) Расстояние между ребрами пирамиды - их 3 пары как скрещивающиеся прямые: АВ и СД, ВС и АД, АС и ВД.
Определяем координаты рёбер как векторы:
АВ = (80,20,35) - (35,0,50) = (45; 20; -15).
СД = (50,65,80) - (10,25,10) = (40; 40; 70).
ВС = (10,25,10) - (80,20,35) = (-70; 5; -25).
АД = (50,65,80) - (35,0,50) = (15; 65; 30).
ВД = (50,65,80) - (80,20,35) = (-30; 45; 45).
Находим AB x CD:
x*1400+ y*-600+ z*1800- y*-3150- x*600- z*-800 =
x y z Квадрат Модуль
2000-37501000190625004366,0623.
Уравнение плоскости с прямой АВ параллельно CД:
2000(x-35) -3750(y-0)+1000(z-50)=2000x-70000-3750y-0+1000z-50000 = 2000x-3750y+1000z-120000 = 0.
Сократим на 250: 8x - 15y + 4z - 480 = 0.
Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки M(Mx, My, Mz) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D| .
√(A² + B² + C²)
Для определения расстояния между АВ и СД в качестве точки М примем точку C(10,25,10) на прямой СД.
d = |8*10 - 15*25 + 4*10 - 480|/√(8² + (-15)² + 4²) =
= |80 - 375 + 40 - 480|/√(64 + 225 + 16) = 735/√305 =
= 735/17,4642492 ≈ 42,085978.
Аналогично определяем другие 2 расстояния:
d(ВС и АД) = |-183750|/5245,652962 = 35,029004.
d(АС и ВД) = 183750/3755,24633 = 48,931544.
2) Под натуральной величиной основания треугольника ABC понимаем его размеры и площадь.
Размеры - это длины векторов, они равны:
АВ = ВС = АС =
= √2650 = = √5550 =√2850 =
≈ 51,478151. ≈ 74,49832. ≈ 53,3854.
АД = ВД СД
= √5350 = √4950 = √8100
≈ 73,14369. ≈ 70,35624. = 90.
Площадь можно найти по формуле Герона или как половину модуля векторного произведения двух рёбер.
Треугольник АВС по формуле Герона:
a(ВС) b(АС) c(АВ) p 2p S
74,49853,385451,4781589,6809179,36191374,0338
cos A =-0,0091cos B =0,69752cos С =0,72288
Аrad = 1,5799 Brad = 0,79887 Сrad = 0,76283
Аgr = 90,5212Bgr = 45,7719 Сgr = 43,7069. Это ответ 3).