Даны вершины треугольника А(8; -3), В(6; -10), С(1; -6).
Уравнение АС: (х - 8)/-7 = (у+3)/-3. Приведём к общему знаменателю:
-3х + 24 = -7у- 21. Получаем общее уравнение прямой АС:
3х - 7у - 45 = 0. Или с угловым коэффициентом у = (3/7)х - (45/7).
Угловой коэффициент к(ВН) высоты ВН равен -1/к(АС) = -1/(3/7) = -7/3.
Уравнение ВН: у = (-7/3)х + в. Для определения в подставим координаты точки В: -10 = (-7/3)*6 + в, в = (42/3) - 10 = 12/3 = 4.
Уравнение высоты ВН: у = (-7/3)х + 4.
Находим точку М - середину стороны АВ.
М = ((8+6)/2=7; (-3-10)/2=-6,5) = (7;-6,5).
Уравнение СМ: (х - 1)/6 = (у + 6)/-0,5. Правую часть умножим на 2:
(х - 1)/6 = (2у + 12)/-1, -х + 1 = 12у + 72.
Уравнение медианы СМ: у = (-1/12)х - (71/12).
Теперь находим точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проходящей через вершину С.
(-7/3)х + 4 = (-1/12)х - (71/12),
((1/12) - (7/3))х = (-71/12) - 4,
(-27/12)х = 119/12. Отсюда х = 119/12 ≈ 4,4074.
Подставив значение х в любое из уравнений ВН или СМ, получаем значение у = -6,284.
Ответ: точка пересечения ВН и СМ: (4,4074 ; -6,284)
.