Задание 1
log₅(3x + 1) ≥ log₅(2x - 1)
Так как основание логарифма (5) больше нуля, то знак неравенства остаётся прежним. Составим систему ОДЗ:
3x + 1 > 0
3x > -1
x > -¹/₃
2x - 1 > 0
2x > 1
x > ¹/₂
Пересечение ОДЗ: x ∈ (0.5; +∞)
Раскроем логарифмы:
3x + 1 ≥ 2x - 1
x ≥ -2
x ∈ [-2; +∞)
Пересечение решения и ОДЗ: x ∈ (0.5; +∞)
Ответ
x ∈ (0.5; +∞)
Задание 2
По свойству степеней мы можем представить ¹/₅ как 5⁻¹. А по свойству логарифмов мы выносим степень основания как 1/k. Преобразуем и вынесем степень за логарифм:
-log₅(5 - 2x) ≥ -log₅(2 - x)
Домножим обе части неравенства на -1 (знак при этом изменится на противоположный):
log₅(5 - 2x) ≤ log₅(2 - x)
Составим систему ОДЗ:
5 - 2x > 0
2x < 5
x < ⁵/₂
2 - x > 0
x < 2
Пересечение ОДЗ: x ∈ (-∞; 2)
Раскроем логарифмы:
5 - 2x ≤ 2 - x
3 ≤ x
x ≥ 3
Пересечение ОДЗ и уравнения: x ∈ ∅
Ответ
x ∈ ∅
Задание 3
0.25 в основании логарифма мы можем представить как ¹/₄, а по свойству степеней как 4⁻¹. По свойству логарифмов мы можем вынести степень как 1/k. Преобразуем:
-log₄(5x - 3) > - 1
Домножим обе части неравенства на -1 (при этом знак неравенства изменится на противоположный):
log₄(5x - 3) < 1
По свойству логарифмов 1 = logₙn. Преобразуем:
log₄(5x - 3) < log₄4
Составим систему ОДЗ:
5x - 3 > 0
5x > 3
x > ³/₅
x ∈ (³/₅; +∞)
Так как основание логарифма (4) больше нуля, то зак неравенства не изменяется. Раскроем логарифмы:
5x - 3 < 4
5x < 7
x < ⁷/₃
Пересечение ОДЗ и уравнения: x ∈ (³/₅; ⁷/₃)
Ответ
x ∈ (³/₅; ⁷/₃)