Решение.
Рассмотрим ΔАВ₁С. В нём известны АВ₁=3, В₁С=2 и ∠АВ₁С=60°.
Найдем третью сторону АС по теореме косинусов:
АС=√(АВ₁²+В₁С²-2·АВ₁·В₁С·cos 60°)=√(13-12·0,5)=√7
Теперь рассмотрим 2 прямоугольных треугольника ΔАВВ₁ и ΔСВВ₁ с общей стороной ВВ₁, которая также является и высотой призмы.
В этих треугольниках известны гипотензузы АВ₁=3, В₁С=2. Обозначим сторону ВВ₁ за х и получим следующие выражения:
АВ=√(9-х²) ; ВС=√(4-х²).
Теперь обратимся к основанию призмы - прямоугольному ΔАВС, где АВ и ВС -катеты, АС-гипотенуза, длину которой мы уже определили.
С целью найти значение х, составим уравнение по теореме Пифагора:
АС²=АВ²+ВС²=7 ⇒ 9-х²+4-х²=7 ⇒ 2х²=6 ⇒ х=√3 (ВВ₁-высота призмы )
Теперь, подставив значение х в выражения для АВ и ВС, найдем их числовое значение:
АВ=√6; ВС=1
Для нохождения объёма прямой призмы нам достаточно знать площадь её основания и высоту. Найдем площадь основания:
S₀=АВ·ВС/2=(√6)/2
Найдём объём призмы АВСА₁В₁С₁.
V=S₀·h=S₀·ВВ₁=√(6·3)·
=3/√2
(Если непонятно, откуда что взялось, пишите в комментарии, я поясню. Чертеж к задаче в формате PDF)
Скачать вложение Adobe Acrobat (PDF)