Предположим, что √5 - рациональное число.
Тогда его можно представить в виде несократимой дроби, а именно √5 = a/b, где a,b - натуральные числа.
Тогда 5=a²/b², 5b²=a².
Т.к. 5b² делится на 5, то и a² делится на 5.
Тогда a=5c, где c - натуральное.
Получаем 5b² = (5c)², 5b²=25c², b²=5c², а значит что и b делится на 5. Таким образом мы имеем: a делится на 5 и b делится на 5, что противоречит условию, что a/b это несократимая дробь. Следовательно √5 - иррациональное число