Доказать неравенство а²+b²+1≥a+b+ab. Помогите пожалуйста,очень нужно

Question 1

Question 2

Сделаем замену
$a+b=x\\ ab=y$
тогда наше выражение перепишется в виде
$x^2-2y+1 \geq x+y$
преобразуем
$x^2+1 \geq x+3y$
добавим к обеим частям по $2x$ и заметим что
$(x+1)^2 \geq 3(x+y)$
подставим все и получим
$(a+b+1)^2 \geq 3(a+b+ab)$
теперь откроем скобки
$a^2+b^2+2ab+2b+2a+1 \geq 3a+3b+3ab \\$
перенесем все в левую часть
$a^2+b^2-a-b-ab+1 \geq 0$
Вспомним что
$a^2+b^2 \geq 2ab\\ ab \leq \frac{a^2+b^2}{2}$ подставим
$a^2+b^2-a-b-\frac{a^2+b^2}{2} + 1 \geq 0\\ 2a^2+2b^2-2a-2b-a^2-b^2+2 \geq 0\\ a^2+b^2-2a-2b+2 \geq 0\\ (a-1)^2+(b-1)^2 \geq 0$
то есть квадраты никогда не могут быть отрицательными чтд !

Матов_zn · Answer 1 · 2018-03-15T07:09:11+0000

Сделаем замену
$a+b=x\\ ab=y$
тогда наше выражение перепишется в виде
$x^2-2y+1 \geq x+y$
преобразуем
$x^2+1 \geq x+3y$
добавим к обеим частям по $2x$ и заметим что
$(x+1)^2 \geq 3(x+y)$
подставим все и получим
$(a+b+1)^2 \geq 3(a+b+ab)$
теперь откроем скобки
$a^2+b^2+2ab+2b+2a+1 \geq 3a+3b+3ab \\$
перенесем все в левую часть
$a^2+b^2-a-b-ab+1 \geq 0$
Вспомним что
$a^2+b^2 \geq 2ab\\ ab \leq \frac{a^2+b^2}{2}$ подставим
$a^2+b^2-a-b-\frac{a^2+b^2}{2} + 1 \geq 0\\ 2a^2+2b^2-2a-2b-a^2-b^2+2 \geq 0\\ a^2+b^2-2a-2b+2 \geq 0\\ (a-1)^2+(b-1)^2 \geq 0$
то есть квадраты никогда не могут быть отрицательными чтд !