Дана функция 
Провести полное исследование функций по схеме:
1. Область определения функции. Так как переменная в знаменателе, то из области определения выпадает значение х = 0. х ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты. По пункту 1 определяем, что функция имеет разрыв в точке х = 0. Ось Оу - вертикальная асимптота.
3. Точки пересечения функции с осями координат. Так как х не равен нулю, то график функции не пересекает ось Оу.
Для определения точек пересечения оси Ох приравняем функцию нулю. Уравнение приведём к общему знаменателю.
у = (3х² - 1)/х³ = 0. Достаточно приравнять числитель:
3х² - 1 = 0, х = +-√(1/3) ≈ +-0,57735.
4. Четность, нечетность.
f(-x) = (3x² - 1)/(-x³) = -f(x). Функция нечётная.
5. Периодичность - непериодичная.
6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.
Находим производную: y' = (3 - 3х²)/х⁴.
Приравниваем нулю (достаточно числитель):
3 - 3х² = 3(1 - х²) = 0.
Отсюда находим 2 критические точки: х =+-1.
Находим знаки производной в промежутках между критическими точками с учётом точки разрыва х = 0.
х = -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
y' = -0,5625 0 36 - 36 0-0,5625.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
•Минимум функции в точке: х = -1,
•Максимум функции в точке: х = 1.
•Возрастает на промежутках: (-1; 0) U (0; 1)
•Убывает на промежутках: (-∞; -1) U (1; +∞).
7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
Вторая производная y'' = 6(x² - 2)/x^5. Приравниваем её нулю.
x² - 2 =0. Получаем 2 точки перегиба: х =+-√2 ≈ +-1,4142.
Находим знаки второй производной с учётом точки разрыва х = 0:
х = -2 -√2 -1 1 √2 2
y'' = -0,3750 6 -6 0 0,375
Интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, находим по знаку второй производной : где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.
•Вогнутая на промежутках: (-√2; 0) ∪ (√2; +∞),
•Выпуклая на промежутках: (-∞;-√2) ∪ (0; √2) .
8. Наклонные асимптоты - нет, горизонтальная асимптота - ось Ох.
9. Построение графика y(x)=(3/x) − (1/x³) - таблица точек:
x y
-3.0-0.963
-2.5-1.136
-2.0-1.375
-1.5-1.704
-1.0-2
-0.52
0-
0.5-2
1.02
1.51.704
2.01.375
2.51.136
3.00.963
