Вопрос: Чему точно равно значение X ?

Так как
$lg(2 \times \sin \frac{\pi}{6} ) = lg(2 \times \frac{1}{2} ) = \\ = lg(1) = 0$
то получаем
${x}^{3} + 3 \sqrt{2} {x}^{2} + 6x = - 2 \sqrt{2} \\ {x}^{3} + 3 \sqrt{2} {x}^{2} + 6x + 2 \sqrt{2 }=0$
Последнее равенство есть формула сокращенного умножения - куб суммы:
${x}^{3} + 3 {x}^{2} \sqrt{2} + 3 {( \sqrt{2} )}^{2} x + {( \sqrt{2} )}^{3} = 0 \\ {(x + \sqrt{2} )}^{3} = 0 \\ x + \sqrt{2} = 0 \\ x = - \sqrt{2}$