Три числа, сумма которых 217, можно рассматривать как три последовательных члена...

Пусть даны числа x, y, z.

(1) Так как x, y, z можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии, то справедливо равенство y=√(xz) - как среднее геометрическое двух соседних членов прогрессии.

(2) Так как x, y, z можно рассматривать как 2-ой, 9-ый и 44-ый члены арифметической прогрессии, имеем следующее:

x=a₂=a₁+d

y=a₉=a₁+8d

z=a₄₄=a₁+43d

По условию задачи, верно равенство 3a₁+52d=217.

(3) Комбинируя пункты (1) и (2), составим систему:

$\left \{ \begin{array}{I} a_1+8d=\sqrt{(a_1+d)(a_1+43d)} \\ 3a_1+52d=217 \end{array}$

Решая ее, получим пары a₁=3, d=4 и a₁=217/3, d=0. Вторая пара не удовлетворяют условию задачи, так как в таком случае нет арифметической прогрессии.

(4) Сумма арифметической прогрессии вычисляется по готовой формуле. Получим уравнение:

$\dfrac{2\cdot3+(n-1)\cdot4}{2}\cdot n=820$

Откуда n=-20.5 и n=20. По очевидным причинам, первый корень не удовлетворяет условию задачи.

Три числа, сумма которых 217, можно рассматривать как три последовательных члена...

Ответ: 20