Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности если сторона правильного...

Ответ:

$\frac{256\pi }{3} cm^2;\frac{32\pi \sqrt{3}}{3}cm$

Пошаговое объяснение:

1. Проведём высоту AH в треугольнике ABC. Т.к. ΔABC - правильный, то AH является медианой ⇒ BH = HC = 8 см

Найдём высоту треугольника по теореме Пифагора из ΔBHA:

$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{16^2-8^2}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}cm$

2. Центр описанной окружности лежит на пересечении медиан (т.к. треугольник правильный).

Медианы точкой пересечения делятся на отрезки, который относятся как 2 к 1, считая от вершины.

При этом больший отрезок медианы (2/3 медианы) -- это радиус описанной окружности.

Найдём его:

$R=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}\cdot 8\sqrt{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3}cm$

3. Sкруга = πR²

$S=\pi \cdot (\frac{16\sqrt{3}}{3})^2=\pi \cdot (\frac{16^2\cdot 3}{9})^2=\frac{256\pi }{3} cm^2$

4. Lкруга = 2πR

$L=2\pi \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3}=\frac{32\pi \sqrt{3}}{3}cm$