В цепь, составленную из источника ЭДС с внутренним сопротивлением r и резистора...

Question

В цепь, составленную из источника ЭДС с внутренним сопротивлением r и резистора сопротивлением R, включается вольтметр, первый раз параллельно резистора, второй раз последовательно. Показания вольтметра оказалось одинаковыми. Найти сопротивление вольтметра

Answer 1

Пусть Rv- сопротивление вольтметра. Вольтметр показывает напряжение на нём, т.е. величину i*Rv, где i - сила тока, протекающего через вольтметр. При параллельном включении его с резистором их общее сопротивление Rэ=R*Rv/(R+Rv), общее сопротивление цепи Ro1=r+Rэ=(r*R+r*Rv+R*Rv)/(R+Rv), а  сила тока в цепи i1=E/Ro=E*(R+Rv)/(r*R+r*Rv+R*Rv). При последовательном соединении Ro2=r+R+Rv, а сила тока в цепи i2=E/Ro2=E/(r+R+Rv). Поэтому в первом случае вольтметр покажет напряжение U1=i1*Rv=E*Rv*(R+Rv)/((r*R+r*Rv+R*Rv). Во втором случае вольтметр покажет напряжение U2=i2*Rv=E*Rv/(r+R+Rv). Так как по условию U1=U2, то отсюда следует уравнение  E*Rv*(R+Rv)/((r*R+r*Rv+R*Rv)=E*Rv/(r+R+Rv), которое приводится к квадратному уравнению Rv²+R*Rv+R²=0. Его дискриминант D=-3*R²<0, так что действительных решений это уравнение не имеет. А это значит, что при любом сопротивлении вольтметра его показания не могут быть одинаковыми. Ответ: ни при каком.</p>

Comments

Почему в первом случае вольтметр покажет напряжение U1=i1*Rv? А разве i1* не общий ток вольтметра и резистора R?

---

Да, я ошибся. Ваше решение - верное.

---

Сейчас я решил задачу заново и пришёл к тому же ответу, что и вы.

Answer 2

Вольтметр включен параллельно резистору, в этом случае он покажет напряжение U=I*Rн=E*Rн/(r+Rн), где Rн=R*Rв/(R+Rв), где Rв - сопротивление вольтметра. Подставим выражение для Rн в первое выражение получим U=E*R*Rв/(R+Rв)/[r+R*Rв/(R+Rв)]=E*R*Rв/(r*R+r*Rв+R*Rв)

В случае последовательного включения вольтметра, от покажет падение напряжения на собственном сопротивлении:

U'=I'*Rв=E*Rв/(r+R+Rв). По условию оба напряжения должны быть равны между собой, т.е.

E*R*Rв/(r*R+r*Rв+R*Rв)=E*Rв/(r+R+Rв)

R/(r*R+r*Rв+R*Rв)=1//(r+R+Rв)

R*r+R²+R*Rв=r*R+r*Rв+R*Rв

r*Rв=R² ⇒ Rв=R²/r

При сопротивлении вольтметра, равном Rв=R²/r в обеих схемах включения он покажет одинаковое напряжение