Ответ:
Утверждение доказано.
Пошаговое объяснение:
Перепишем n-ный член последовательности в виде an=5^(1/n). Так как n - натуральное число, то при любых n будет выполняться неравенство 1/n>0, а вместе с ним и неравенство 5^(1/n)>1. Пусть теперь ε - сколь угодно малое положительное число. Для того, чтобы доказать равенство lim an=1, достаточно доказать, что существует такое натуральное число N, что для всех n>N будет выполняться неравенство 5^(1/n)-1<ε. Это неравенство можно переписать в виде 5^(1/n)<ε+1. Взяв логарифмы по основанию 5 от обоих частей, получим равносильное ему неравенство 1/n<log_5(ε+1). Из него находим n>1/log_5(ε+1). Значит, число N действительно существует, и в качестве него можно взять либо само число 1/log_5(ε+1), если это число натуральное, либо ближайшее к нему меньшее его натуральное число.Таким образом, число N найдено, а вместе с этим доказано и утверждение.