Log0,6(sin(1/2 arccos(-1/5))) пожалуйста помагитееее!!!

Question

Дан 1 ответ

d3782741_zn · Answer 1 · 2020-06-01T02:50:45+0000

$\log_{0{,}6}\left(\sin\left(\dfrac{1}{2}\arccos\left(-\dfrac{1}{5}\right)\right)\right)=\log_{\tfrac{3}{5}}\left(\sin\left(\dfrac{\pi-\arccos\tfrac{1}{5}}{2}\right)\right)=\\\\=\log_{\tfrac{3}{5}}\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\arccos{\tfrac{1}{5}}}{2}\right)\right)=\log_{\tfrac{3}{5}}\left(\cos\left(\dfrac{\arccos{\tfrac{1}{5}}}{2}\right)\right)$

Рассмотрим $\cos\left(\dfrac{\arccos\tfrac{1}{5}}{2}\right)$

Заметим, что

$\arccos1<\arccos\tfrac{1}{5}<\arccos0\\\\0<\arccos\tfrac{1}{5}<\dfrac{\pi}{2}\\\\0<\dfrac{\arccos\tfrac{1}{5}}{2}<\dfrac{\pi}{4}$

Следовательно, 0" alt="\cos\left(\dfrac{\arccos\tfrac{1}{5}}{2}\right)>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Найдём значение этого косинуса

Для удобства обозначим $\varphi=\arccos\tfrac{1}{5}$

$\cos\varphi=\dfrac{1}{5}\\\\\cos\left(2\cdot\dfrac{\varphi}{2}}\right)=\dfrac{1}{5}\\\\2\cos^2\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)-1=\dfrac{1}{5}\\\\\cos\dfrac{\varphi}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{3}{5}}$