Ответ:
Положим что
1^5+2^5+...+9999^5+10^{20} / /textgreater / 1^{10}+2^{10}+... + 99^{10}+10^{20}// 2^5+...+9999^5/ /textgreater / 2^{10}+... + 99^{10}//
Заметим что
2^5+...+9999^5/ /textgreater / 2^{10}+... + 99^{10}//
9999^5=99^5*101^5/ /textgreater / 99^{10} //
9998 / /textless / 98^5*102^5 / /textgreater / 98^{10} //
9997 / /textless / 97^5*103^{5} / /textgreater / 97^{10} //
.....
То есть, изначальное положение неравенство верное
так же можно оценить данное неравенство через формулу , к примеру
a^5+b^5+c^5+d^5+...+ f^5 = (a+b+c+d+...+f)^5-5abcdf+....
и для в старшей степени в данном условий