Дана пирамида SABC. SO - это высота пирамиды Н. Апофема SD = 2√15. Угол SBO = 45 градусов.
Пусть проекция апофемы на основание равна х, тогда проекция бокового ребра и высота Н равны 2х.
Из прямоугольного треугольника BOS находим:
SD² = x² + (2x)².
60 = 5x².
x = √(60/5) = √12 = 2√3. Высота пирамиды Н = 2х = 4√3.
Высота основания ВД = 3х = 6√3.
Сторона основания а = ВД/cos 30° = 6√3/(√3/2= 12.
Площадь основания So =a²√3/4 = 144√3/4 = 36√3.
Ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*36√3*4√3 = 144 куб.ед.