Рассмотрим ограничение, накладываемое квадратным корнем.
Областью допустимых значений неравенства на промежутке [-6; 12] будет x∈[-6; -3]∪[0; 3]∪[6; 9]∪{12}.
Вернемся к неравенству. Так как корень квадратный является числом неотрицательным при любых значениях x, можно выполнить следующий равносильный переход.
![\sqrt{\sin\dfrac{\pi x}{3}}\cdot(20-x^2+x)\geq0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left [ \begin{array}{I} 20-x^2+x \geq 0 \\ \sin \dfrac{\pi x}{3}=0 \end{array} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left [ \begin{array}{I} x\in[-4; \ 5] \\ x=3k, \ k \in \mathbb{Z} \end{array}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B%5Csin%5Cdfrac%7B%5Cpi%20x%7D%7B3%7D%7D%5Ccdot%2820-x%5E2%2Bx%29%5Cgeq0%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%20%5C%20%5C%20%5Cleft%20%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7BI%7D%2020-x%5E2%2Bx%20%5Cgeq%200%20%5C%5C%20%5Csin%20%5Cdfrac%7B%5Cpi%20x%7D%7B3%7D%3D0%20%5Cend%7Barray%7D%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%20%5C%20%5C%20%5Cleft%20%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7BI%7D%20x%5Cin%5B-4%3B%20%5C%205%5D%20%5C%5C%20x%3D3k%2C%20%5C%20k%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Cend%7Barray%7D "\sqrt{\sin\dfrac{\pi x}{3}}\cdot(20-x^2+x)\geq0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left [ \begin{array}{I} 20-x^2+x \geq 0 \\ \sin \dfrac{\pi x}{3}=0 \end{array} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left [ \begin{array}{I} x\in[-4; \ 5] \\ x=3k, \ k \in \mathbb{Z} \end{array}")
С учетом ОДЗ на промежутке получим решения x∈{-6}∪[-4; -3]∪[0; 3]∪{6}∪{9}∪{12}. Таким образом, при заданном условии неравенство имеет 10 целых решений.
Ответ: 10