1 Рассмотрим произвольный треугольник KLM и докажем, что ∡ K+ ∡ L+ ∡ M= 180° .
Проведём через вершину L прямую a , параллельную стороне KM .
Углы, обозначенные 1 , являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых a и KM секущей KL , а углы, обозначенные 2 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ML .
Очевидно, сумма углов 1 , 2 и 3 равна развёрнутому углу с вершиной L , т. е.
∡ 1+ ∡ 2+ ∡ 3= 180° или ∡ K+ ∡ L+ ∡ M= 180° .
Теорема доказана.
2 Пусть АВС - данный треугольник. По теореме о сумме углов треугольника( которая гласит, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°) угол А+ угол В+угол С = 180°. Отсюда следует, что угол А+угол В= 180°- угол С. Правая часть этого равенства, то есть (180°-угол С)- это градусная мера внешнего угла треугольника при вершине С. Теорема доказана.
3Если из точки вне прямой опустить перпендикуляр и провести наклонную, то получится прямоугольный треугольник. А в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Прямой угол в прямоугольном треугольнике естественно больше любого острого угла, значит и сторона (гипотенуза) лежащая против него будет всегда больше, чем любой из катетов, лежащих против острых углов. Для любых углов перпендикуляр будет меньше любой наклонной проведенной из той же точки.