1.) Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.
2.) В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.
Другое необходимое и достаточное условие — выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг друга.
3.) Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
4.) Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника.
5.)Выпуклый невырожденный четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой из сторон, пересекаются в одной точке.
Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда противоположные углы в сумме дают 180°.
Эквивалентно, выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда смежный угол равен противоположному внутреннему углу.
6.)Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°.