Даю 88 балла!!! Сравнивая корни многочленов, проверьте, делится ли многочлен x^5 − 4x^4 −...

Question

Даю 88 балла!!! Сравнивая корни многочленов, проверьте, делится ли многочлен x^5 − 4x^4 − 13x^3 + 216 на многочлен x^2 − 3x − 18. Нужно решение ​

Comments

А нельзя просто поделить столбиком многочлен на многочлен?

---

пробовала, с остатком делиться

---

делится*

---

(x-6)(x^3-x^2+2x-12)(x+3)=(x^4-7x^3+8x^2-24x+72)(x+3)=x^5-4x^4-13x^3+216Без остатка, по крайней мере при умножении всё получается.Можно дать решение как деление многочлена на многочлен?Просто раскладывать на множители многочлен пятой степени достаточно сложно

---

Находить корни кубического многочлена сложно, что уж тут говорить о многочлене пятой степени

Answer 1

Если корни многочлена с меньшей степенью совпадают с корнями многочлена большей степени - то многочлен большей степени делится на многочлен меньшей степени

Для примера  x^2 - 2x + 1 делится на x-1 (корень 1)

x-1=0 x=1

(x -1)^2 = 0 x=1

и не делится на х+1

Так и здесь найдем корни многочлена второй степени и подставим в многочлен 5-й степени, если и там будут корни, то значит делится, если нет - то не делится

x^2 - 3x - 18 = 0

D = 9 + 72 = 81

x12=(3+-9)/2 = 6  -3

(x+3)(x-6) = 0

подставляем найденные значения в x^5 − 4x^4 − 13x^3 + 216 = 0

1. х=-3

(-3)^5 - 4 *(-3)^4 - 13*(-3)^3 + 216 = -243 - 324 + 351 + 216 = - 567 + 567 = 0 да корень

2. х=6

6^5 - 4*6^4 - 13*6^3 + 216 = 7776 - 5184 - 2808 + 216 = 7992 - 7992 = 0

да корень

Значит многочлен пятой степени делится на многочлен второй степени без остатка

(x^5 − 4x^4 − 13x^3 + 216) / ( x^2 − 3x − 18) = x^3 - x^2 + 2x - 12