Окружность вписана в угол ABC, следовательно ее центр лежит на биссектрисе, BO - биссектриса ABC. Аналогично CO - биссектриса BCM. Треугольник BOC - прямоугольный, сумма острых углов 90. Если сумма половин 90, то сумма целых углов 180.
При пересечении прямых AB и CM секущей BC сумма внутренних односторонних углов 180, следовательно AB и CM параллельны.