X(x-1)y'+2xy=1 pleaseeeeee

0 голосов
156 просмотров

X(x-1)y'+2xy=1 pleaseeeeee

Математика (12 баллов) | 156 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

x(x - 1)y' + 2xy = 1

Разделим обе части уравнения на x(x - 1) \neq 0

y' + \dfrac{2}{x - 1}y = \dfrac{1}{x(x - 1)}

Имеем линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Воспользуемся методом Бернулли: y = uv; \ y' = u'v+uv', где u = u(x), \ v = v(x)

Имеем:

u'v + uv' + \dfrac{2}{x - 1}uv = \dfrac{1}{x(x - 1)}

u'v + u\left(v' + \dfrac{2}{x - 1}v\right) = \dfrac{1}{x(x - 1)}

Пусть v' + \dfrac{2}{x - 1}v = 0. Тогда u'v = \dfrac{1}{x(x-1)}

Решим первое дифференциальное уравнение:

v' + \dfrac{2}{x - 1}v = 0

\dfrac{dv}{dx} =- \dfrac{2}{x - 1}v

\dfrac{dv}{v} = -\dfrac{2}{x-1}dx

\displaystyle \int\dfrac{dv}{v} = -\int \dfrac{2}{x-1}dx

\ln|v| = - 2\ln |x - 1|

\ln|v| = \ln \dfrac{1}{(x-1)^{2}}

v = \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}

Решим второе дифференциальное уравнение:

u'v = \dfrac{1}{x(x-1)}

\dfrac{du}{dx} \cdot \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}= \dfrac{1}{x(x-1)}

du = \dfrac{x-1}{x} dx

du =\left(1 - \dfrac{1}{x}\right) dx

\displaystyle \int du = \int \left(1 - \dfrac{1}{x}\right) dx

u = x - \ln|x| + C

Обратная замена:

y = uv = (x - \ln|x| + C) \cdot \dfrac{1}{(x - 1)^{2}} = \dfrac{x - \ln |x| + C}{(x-1)^{2}}

Ответ: y = \dfrac{x - \ln |x| + C}{(x-1)^{2}}

(682 баллов)
Похожие задачи