высота СД прямоугольного треугольника АВС, опущенная на гипотенузу АВ, равна 4 8/13 дм, проекция катетов на неё равна 11 1/13 дм. найти все стороны этого треугольника
CD=h =4 8/13 дм = 60 /13
AB=c -гипотенуза
AC (а), BC(b) – катеты
c1 и с2 - длины отрезков, на которые высота делит гипотенузу
с1=11 1/13 дм = 144/13
способ 1
h^2=c1*c2 - свойство прямоугольного треугольника
с2= h^2 /c1 = (60 /13)^2 / (144/13) = 25/13
гипотенуза c= с1+с2=144/13+25/13= 13 дм
дальше по теореме Пифагора
первый катет a^2=h^2 + c1^2 ; a=√( h^2 + c1^2)= √(60 /13)^2+(144/13)^2=12 дм
второй катет b^2=h^2 + c2^2 ; b=√( h^2 + c2^2)= √(60 /13)^2+(25/13)^2=5 дм
способ 2
по теореме Пифагора
первый катет a^2=h^2 + c1^2 ; a=√( h^2 + c1^2)= √(60 /13)^2+(144/13)^2=12 дм
высота, падающая на гипотенузу, связана с катетами соотношением
1/a^2 +1/b^2=1/h^2 - свойство прямоугольного треугольника
второй катет 1/b^2=1/h^2 - 1/a^2 ; b^2 = (ah)^2 /(a^2-h^2)=(12*60/13)^2 /(12^2-(60/13)^2)=25 ; b= 5 дм
по теореме Пифагора
гипотенуза с^2 = a^2 + b^2 ; c= √ (a^2 + b^2) =√ (12^2 + 5^2)= √169 = 13 дм
способ 3
ответ стороны треугольника 5, 12, 13