№740. Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить його гіпотенузу на... - Все ответы

Дан 1 ответ

Дано:

ΔABC, ∠B = 90°.

Вписанная окружность с центром O и радиусом OD = OE = OF,

D∈BC, E∈AC, F∈AB.

OE = 12 (см), EC = 8 (см).

Найти:

$S_{\triangle ABC} = ?$

Решение:

Заметим, что $AE=AF=12$ и $CE=CD=8$ (так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны).

Пусть $OD=OE=OF=r$ .

Тогда $\square BDOF$ - квадрат, так как $\angle B = \angle D = \angle F = 90 \textdegree$ (и, значит, $\angle O = 360 \textdegree - 3 \cdot 90 \textdegree = 90 \textdegree$ ), а также $OD=FB$ , $OF=DB$ и $OF=OD$ . - Все стороны и углы данного четырехугольника равны.

Значит, $BD=BF=r$ .

Тогда катеты треугольника $AB=12+r$ и $BC=8+r$ , а гипотенуза равна $AC=12+8=20$ .

По тереме Пифагора:

$(AB)^2 + (BC)^2 = (AC)^2$

$(12+r)^2+(8+r)^2=20^2\\144+24r+r^2+64+16r+r^2 = 400\\208+40r + 2r^2=400\\2r^2+40r = 192\\r^2+20r-96=0\\\left[\begin{array}{ccc}r_1=4\\r_2=-24\end{array}\right$

Второй корень нам не подходит (он отрицательный ... ).

Так что $r=4$ .

$AB=4+12=16\\BC=4+8=12$

Можем найти площадь:

$S_{ \triangle ABC} = \dfrac{(AB) \cdot (AC)}{2} = \dfrac{16 \cdot 12}{2} = 96$

Задача решена!

Ответ:

96 см².

Olga8128_zn (1.8k баллов) 15 Июнь, 20