Имеем многочлен [tex]P_{n}(x) = 12x^{5} - 23x^{4} - 27x^{3} - 36x^{2} - x + 3[/tex]
Корнями многочлена [tex]P_{n}(x)[/tex] называют корни уравнения
[tex]12x^{5} - 23x^{4} - 27x^{3} - 36x^{2} - x + 3 = 0[/tex]
Имеем уравнение пятого порядка. Попробуем его решить с помощью теоремы Безу.
Суть этой теоремы в том, что если уравнение вида с ненулевым свободным членом имеет некий корень , принадлежащий к множеству целых чисел, то этот корень будет делителем свободного члена.
Выпишем все делители свободного члена: [tex]\pm 1; \ \pm 3[/tex]
Подставим [tex]x = 1[/tex] в корень уравнения и получим:
[tex]12 \cdot 1^{5} - 23 \cdot 1^{4} - 27 \cdot 1^{3} - 36 \cdot 1^{2} - 1 + 3 = 0[/tex]
[tex]-72 = 0[/tex] — неправда
Подставим [tex]x = -1[/tex] в корень уравнения и получим:
[tex]12 \cdot (-1)^{5} - 23 \cdot (-1)^{4} - 27 \cdot (-1)^{3} - 36 \cdot (-1)^{2} - (-1) + 3 = 0[/tex]
[tex]-40 = 0[/tex] — неправда
Подставим [tex]x = 3[/tex] в корень уравнения и получим:
[tex]12 \cdot 3^{5} - 23 \cdot 3^{4} - 27 \cdot 3^{3} - 36 \cdot 3^{2} - 3 + 3 = 0[/tex]
[tex]0 = 0[/tex] — правда
Следовательно, [tex]x_{1} = 3[/tex] — один из корней уравнения. Теперь необходимо выполнить деление многочлена столбиком на [tex](x - 3)[/tex] (см. вложение).
После этого исходное уравнение можно записать разложив на множители:
[tex](x - 3)(12x^{4} + 13x^{3} + 12x^{2} - 1) = 0[/tex]
Решаем второе уравнение:
[tex]12x^{4} + 13x^{3} + 12x^{2} - 1 = 0[/tex]
[tex]12x^{4} + 4x^{3} + 9x^{3} + 3x^{2} + 9x^{2} + 3x - 3x - 1 = 0[/tex]
[tex]4x^{3}(3x + 1) + 3x^{2} (3x + 1) + 3x (3x + 1) - (3x + 1) = 0[/tex]
[tex](3x + 1)(4x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1) = 0[/tex]
[tex](3x + 1)(4x^{3} - x^{2} + 4x^{2} - x + 4x - 1) = 0[/tex]
[tex](3x + 1)(x^{2}(4x - 1) + x(4x - 1) + (4x - 1)) = 0[/tex]
[tex](3x + 1)(4x - 1)(x^{2} + x + 1) = 0[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}3x + 1 = 0 \ \ \ \ \ \\4x - 1 = 0 \ \ \ \ \ \\x^{2} + x + 1 = 0\end{array}\right[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}x = -\dfrac{1}{3} \\x = \dfrac{1}{4} \ \ \\ x \notin \mathbb{R} \ \ \end{array}\right[/tex]
Рациональные корни: [tex]-\dfrac{1}{3} ; \ \dfrac{1}{4}[/tex]