Векторно задача решается элементарно. Надо представить себе три ребра, исходящие из вершины А, как три вектора AD = a; AB = b; AA1 = c.
Пусть abc - три вектора одинаковой длины, не лежащие в одной плоскости, причем про них известно еще, что все попарные скалярные произведения равны между собой. То есть
1. a^2 = b^2 = c^2;
2. ab = ac = bc; это следует из равенства углов между ребрами с вершиной в точке А.
Ясно, что вектор AC1 = a + b + c;
что касается вектора B1D1, то он равен BD = a - b;
Скалярное произведение этих двух векторов равно a^2 - b^2 + ac - bc = 0; то есть вектора AC1 и B1D1 взаимно перпендикулярны.