6.3) Вектор АВ найден ранее: АВ = (4; 4;-2).
Уравнение АВ: (x - 0)/4 = (y - 4)/4 = (z - 3)/(-2).
Для составления уравнения плоскости ABC используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA
= 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 0 y - 4 z - 3
4 - 0 8 - 4 1 - 3
2 - 0 15 - 4 (-7) - 3
= 0
x - 0 y - 4 z - 3
4 4 -2
2 11 -10
= 0
(x - 0) (4·(-10)-(-2)·11) - (y - 4) (·(-10)-(-2)·2) + (z - 3) (4·11-4·2) = 0
(-18) x - 0 + 36 y - 4 + 36 z - 3 = 0
- 18x + 36y + 36z - 252 = 0
, сократим на -18:
Уравнение АВС: x - 2y - 2z + 14 = 0.
6.4) Найдем вектор по координатам точек:
AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {4 - 0; 8 - 4; 1 - 3} = {4; 4; -2}
AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {2 - 0; 15 - 4; -7 - 3} = {2; 11; -10}
AD = {Dx - Ax; Dy - Ay; Dz - Az} = {0 - 0; 6 - 4; 4 - 3} = {0; 2; 1}
V = (1/6)*|AB · [AC × AD]|
Найдем смешанное произведение векторов:
AB · (AC × AD) =
ABx ABy ABz
ACx ACy ACz
ADx ADy ADz
=
4 4 -2
2 11 -10
0 2 1 =
= 4·11·1 + 4·(-10)·0 + (-2)·2·2 - (-2)·11·0 - 4·2·1 - 4·(-10)·2 =
= 44 + 0 - 8 - 0 - 8 + 80 = 108
.
Найдем объем пирамиды:
V = (1/6) · 108 = 18.
Площадь основания АВС найдём как половину модуля векторного произведения АВ на АС (выше получено):
S(ABC) = (1/2)*√((-18)² + 36² + 36²) = (1/2)*√2916 = (1/2)*54 = 27.
Далее используем формулу V = (1/3)SoH, H = 3V/So.
H = 3*18/27 = 2.