Дана пирамида SABC, в которой AB=AC=SB=SC=17, BC=SA=16. Точки M и N — середины рёбер BC и SA.
а) Докажите, что отрезок MN является общим перпендикуляром к прямым BC и SA. б) Найдите объём пирамиды ABMN.
Объяснение:
1)BN-медиана ΔSАВ-равнобедренного⇒BN-высота и BN⊥АS.
CN-медиана ΔSАС-равнобедренного⇒СN-высота и СN⊥АS. Значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости АS⊥ВСN( она перпендикулярна 2-м пересекающимся прямым).А если AS перпендикулярна плоскости, то перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости , например ВС. Вывод AS⊥BC.
2)V(пирам)=1/3*S(осн)*h.
S(осн)=S(АВМ)=1/2*ВМ*АМ.
ВМ=8, АМ=√(17²-8²)=15.
S(осн)=0,5*8*15=60 (ед²)
Ищем высоту h из ΔАNM-прямоугольного, т.к MN⊥AS. Применяем т. о среднем пропорциональном для катета и высоты.
Т.к. катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета, то AN=√(AM*AO) или AО=AN²:АМ=64/15.
Тогда ОМ=15-64/15=161/15
Высота NO-есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу АМ. Тогда NO=√(АО*ОМ)=√(64/15*161/15)=8/15√161.
V(пирам)=1/3*60*8/15√161=32/3*√161.
PS. Не доказано, что NO " падает " на АМ.