Пошаговое объяснение: Простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
![\[\frac{1}{{y + 1}}dy = \frac{1}{{2x - 1}}dx\]](https://tex.z-dn.net/?f=%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B%7By%20%2B%201%7D%7Ddy%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B2x%20-%201%7D%7Ddx%5C%5D "\[\frac{1}{{y + 1}}dy = \frac{1}{{2x - 1}}dx\]")
Проинтегрируем обе части выражения
![\[\int {\frac{1}{{y + 1}}dy} = \int {\frac{1}{{2x - 1}}dx} \]](https://tex.z-dn.net/?f=%5C%5B%5Cint%20%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%7By%20%2B%201%7D%7Ddy%7D%20%20%3D%20%5Cint%20%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B2x%20-%201%7D%7Ddx%7D%20%5C%5D "\[\int {\frac{1}{{y + 1}}dy} = \int {\frac{1}{{2x - 1}}dx} \]")
Воспользовавшись таблицей интегралов получим
![\[\ln \left| {y + 1} \right| + C_1 = \frac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| + C_2 \]](https://tex.z-dn.net/?f=%5C%5B%5Cln%20%5Cleft%7C%20%7By%20%2B%201%7D%20%5Cright%7C%20%2B%20C_1%20%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cln%20%5Cleft%7C%20%7B2x%20-%201%7D%20%5Cright%7C%20%2B%20C_2%20%5C%5D "\[\ln \left| {y + 1} \right| + C_1 = \frac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| + C_2 \]")
Заменим разность постоянных интегрирования C1 и C2, какой либо одной 
. Логарифмы отбросить мы не можем, т.к. присутствует эта же постоянная интегрирования, но рассмотреть частный случай, когда C=0, можем
![\[\left\{ \begin{array}{l} y = \sqrt e \left[ {2x - 1} \right] - 1 \\ C = C_1 - C_2 = 0 \\ \end{array} \right.\]](https://tex.z-dn.net/?f=%5C%5B%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20y%20%3D%20%5Csqrt%20e%20%5Cleft%5B%20%7B2x%20-%201%7D%20%5Cright%5D%20-%201%20%5C%5C%20%20C%20%3D%20C_1%20%20-%20C_2%20%20%3D%200%20%5C%5C%20%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%5C%5D "\[\left\{ \begin{array}{l} y = \sqrt e \left[ {2x - 1} \right] - 1 \\ C = C_1 - C_2 = 0 \\ \end{array} \right.\]")