Решите уравнение , с комплексными корнями

$2x^4=-10\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^4=-5$

Уравнение имеет 4 комплексных корня.

Сделаем замену $z=x$ , тогда уравнение будет таким $z^4=-5$ .

Любое комплексное число можно представить в виде $z=r\cdot e^{i\varphi }\ .$

Подставляем в уравнение, получим $r^4\, e^{4i\varphi }=-5\ ,\ \ r=\sqrt[4]5\ -$ модуль комплексного числа , тогда $e^{4i\varphi }=-1\ .$

Воспользуемся формулой Эйлера:

$e^{4i\varphi }=cos(4\varphi )+i\, sin(4\varphi )=-1\ \ \Rightarrow$

$cos(4\varphi )=-1\ \ ,\ \ sin(4\varphi )=0\ \ \ \Rightarrow \\\\4\varphi =\pi +2\pi n\ \ ,\ \ \ \varphi =\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ n=0,1,2,3,...$

Подставляя значения $\varphi$ в формулу для $z$ , получим значения

$n=0:\ z_1=\sqrt[4]5\Big(-\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\, i\Big)=-\dfrac{\sqrt2\cdot \sqrt[4]5}{2}-\dfrac{\sqrt2\cdot \sqrt[4]5}{2}\cdot i\\\\\\n=1:\ z_2=-\dfrac{\sqrt2\cdot \sqrt[4]5}{2}+\dfrac{\sqrt2\cdot \sqrt[4]5}{2}\cdot i\\\\\\n=2:\ z_3=\dfrac{\sqrt2\cdot \sqrt[4]5}{2}-\dfrac{\sqrt2\cdot \sqrt[4]5}{2}\cdot i\\\\\\n=3:\ z_4=\dfrac{\sqrt2\cdot \sqrt[4]5}{2}+\dfrac{\sqrt2\cdot \sqrt[4]5}{2}\cdot i$