Ответ: y=-1/3*e^(3*x)+4/3.
Объяснение:
Полагая z=y', приходим к уравнению z'-3*z=0, которое можно записать в виде z'=dz/dx=3*z, или dz/z=3*dx. Интегрируя обе части, получаем ln/z/=3*x+ln/C1/, где C1 - произвольная, но отличная от нуля постоянная. Отсюда z=y'=C1*e^(3*x). Это уравнение можно записать в виде dy=C1*e^(3*x)*dx, и после интегрирования находим y=1/3*C1*e^(3*x)+C2. Используя условия y(0)=1 и y'(0)=-1, получаем систему уравнений:
1/3*C1+C2=1
C1=-1
Решая её, находим C2=4/3 и тогда искомое частное решение таково: y=-1/3*e^(3*x)+4/3. Проверка: y'=-e^(3*x), y"=-3*e^(3*x), y"-3*y'=0 - уравнению данная функция удовлетворяет. Если x=0, то y=1 и y'=-1 - функция удовлетворяет и условиям.