Радиус окружности равен (48/17), примем его за r.
Примем отрезки касательных ВД и ВЕ за х.
Тогда АД = 4 - х, СЕ = 13 - х.
По Пифагору отрезки стороны АС равны:
АО = √(r² + (4 - x)²),
ОC = √(r² + (13 - x)²).
Центр окружности лежит на биссектрисе угла АВС.
Используем её свойство.
АО/ОС = АВ/ВС.
(√(r² + (4 - x)²))/(√(r² + (13 - x)²)) = 4/13.
Возведём обе части в квадрат.
(r² + (4 - x)²)/(r² + (13 - x)²) = 16/169.
Раскрыв скобки, приведя подобные и с учётом значения r получаем квадратное уравнение: 289х² - 1768х + 2304 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:
D=(-1768)^2-4*289*2304=3125824-4*289*2304=3125824-1156*2304=3125824-2663424=462400;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(2root462400-(-1768))/(2*289)=(680-(-1768))/(2*289)=(680+1768)/(2*289)=2448/(2*289)=2448/578=72//17~~4.23529411764706;
x_2=(-2root462400-(-1768))/(2*289)=(-680-(-1768))/(2*289)=(-680+1768)/(2*289)=1088/(2*289)=1088/578=32//17~~1.88235294117647.
Первое значение отбрасываем, так как отрезок х больше стороны АВ.
Отсюда находим части стороны АС.
АД = 4 - (32/17) = 36/17.
СЕ = 13 - (32/17) = 189/17.
АО = √((48/17)² + (36/17)²) = 60/17.
ОС = √((48/17)² + (189/17)²) = 195/17.
Ответ: АС = (60/17) + (195/17) = 255/17 = 15.