Ответ:
Дана правильная четырехугольная пирамида РABCD c вершиной Р и основанием ABCD. Длина стороны основания пирамиды равна 1, а длина бокового ребра равна 2. Сфера с центром в точке О касается плоскости основания в точке А и касается бокового ребра РВ. Найдите объем пирамиды OABCD.
V(OABCD) = (√14)/14 ед².
Объяснение:
1. Решение координатным способом.
Привяжем систему координат к вершине А(0;0;0) пирамиды PABCD.
Отметим, что отрезок PJ - высота пирамиды PABCD.
PJ = √14/2 ед. (по Пифагору из треугольника BPJ).
Имеем точки:
A(0;0;0). B(1;0;0). P(0,5;0,5;√14/2). О(0;0;zO).
Центр сферы О(0;0;zO). Расстояние от точки О до прямой ВР = ОН. Причем ОА = ОН. |ОА| = zO.
Расстояние ОН найдем по формуле расстояния от точки до прямой:
|OB x s|
ОН = --------------- , где s - направляющий вектор прямой(ВР),
|s|
B(Xb; Yb; Zb) - точка лежащая на прямой BP, O(x0, y0, z0) - точка пространства.
В нашем случае уравнение прямой ВР:
(x-1)/(1/2-1) = y/(1/2) = z/((√14)/2). Тогда
направляющий вектор s = {-1/2;1/2;(√14)/2},
вектор OB = {1;0;-zO},
векторное произведение ОВ х S =
| i j k |
| 1 0 -zO | = {zO/2;(zO-√14)/2;12/2}.
| -1/2 1/2 (√14)/2 |
Тогда
√(2zO²-(2√14)zO+15)
ОН = --------------------------------.
4
Вспомним, что ОН = ОА. Так как |OA| = zO,
√(2zO²-(2√14)zO+15) = 4zO. =>
2zO²-(2√14)zO+15 = 16zO². =>
zO = (3√14)/14. Это радиус сферы.
Объем пирамиды OАВСD равен V = (1/3)·So·H, где
So = 1² - площадь основания, Н - высота пирамиды, равная радиусу сферы. Тогда
V(OABCD) = (1/3)·1·(3√14)/14 = (√14)/14 ед².
2. Вариант геометрического решения.
Так как сфера касается плоскости основания пирамиды в точке A, ее центр O лежит на перпендикуляре к плоскости ABC, проходящем через вершину A. Пусть J – центр основания ABCD (пересечение диагоналей квадрата). АJ = √2/2 (половина диагонали квадрата). Тогда прямые OA и PJ параллельны, т.к. они перпендикулярны плоскости ABC, значит они лежат в одной плоскости. Пусть R – радиус сферы. Из вершины O прямоугольной трапеции OAJP опустим перпендикуляр OE на основание PJ . Из прямоугольных треугольников APJ и OEP находим, что
PJ = √(АР²-АJ²) = √(4-(√2/2)²) = (√14)/2,
OP² = OE² + PE² = AJ² + (PJ - EJ)² = 1/2 + ((√14)/2-R)² или
OP² = 1/2+ 7/2 - R√14 +R²= R²- R√14 + 4. (1)
Пусть H – точка касания сферы с ребром BP . Тогда AB = BH, как касательные к сфере из одной точки.
OP² = OH² + PH² = R² + (PB - BH)² = R² + (PB - AB)² = R² + 1². (2)
Приравняем (1) и (2):
R²- R√14 + 4 = R² + 1.
Из этого уравнения находим, что
R = 3/√14 = (3√14)/14.
Объем пирамиды OАВСD равен V = (1/3)·So·H,
где So = 1² - площадь основания, Н - высота пирамиды, равная радиусу сферы. Тогда
V(OABCD) = (1/3)·1·(3√14)/14 = (√14)/14 ед².