Задача. Точки E
и F
— середины сторон BC
и AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Докажите, что отрезок EF
делит диагонали AC
и BD
в одном и том же отношении.
Решение. Случай, когда ABCD
— трапеция с основаниями AB
и CD
, очевиден (в этом случае EF∥AB
и утверждение следует из теоремы Фалеса). Поэтому, не умаляя общности, можно считать, что прямые EF
и AB
пересекаются. Обозначим их точку пересечения через X
.
Точки пересечения отрезка EF
с диагоналями AC
и BD
обозначим через M
и N
соответственно. Запишем теорему
Выбрать
для треугольника
Выбрать
и
Выбрать
1=AFFD⋅DNNB⋅
Выбрать
и, учтя, что AF=FD
, получим, что
BNND=
Выбрать
.
Аналогично, используя теорему
Выбрать
для треугольника
Выбрать
и
Выбрать
, находим, что
CMAM=
Выбрать
,
откуда
BNND=
Выбрать
.
