При всех a решите неравенство 9^(x+1)+8a*3^x-a^2>0

Question

При всех a решите неравенство 9^(x+1)+8a*3^x-a^2>0

Answer 1

0" alt="9\cdot9^x+8a\cdot3^x-a^2>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Пусть 0" alt="t=3^x>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

0" alt="9t^2+8at-a^2>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

По теореме Виета

Тогда 0" alt="(t+a)(9t-a)>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Если a > 0, то t + a > 0, так как t > 0. Значит, на (t + a) можно разделить:

0 \Leftrightarrow t>\dfrac{a}{9} \Leftrightarrow 3^x>\dfrac{a}{9} \Leftrightarrow x > \log_3{\dfrac{a}{9}}\Leftrightarrow x>\log_3{a}-2" alt="9t-a>0 \Leftrightarrow t>\dfrac{a}{9} \Leftrightarrow 3^x>\dfrac{a}{9} \Leftrightarrow x > \log_3{\dfrac{a}{9}}\Leftrightarrow x>\log_3{a}-2" align="absmiddle" class="latex-formula">

Если a = 0, то 0" alt="9t^2>0" align="absmiddle" class="latex-formula">, но t > 0, поэтому это верно всегда.

Если a < 0, то 9t - a > 0, так как t > 0, -a > 0. На 9t - a можно разделить:

0 \Leftrightarrow 3^x>-a \Leftrightarrow x>\log_3{(-a)}" alt="t+a>0 \Leftrightarrow 3^x>-a \Leftrightarrow x>\log_3{(-a)}" align="absmiddle" class="latex-formula">

Ответ: \log_3{a}-2" alt="x>\log_3{a}-2" align="absmiddle" class="latex-formula"> при a > 0; при a = 0; \log_3{(-a)}" alt="x>\log_3{(-a)}" align="absmiddle" class="latex-formula"> при a < 0