Три шара радиуса R касаются друг друга и плоскости α, четвертый шар радиуса R положен...

Question

Три шара радиуса R касаются друг друга и плоскости α, четвертый шар радиуса R положен сверху так, что касается каждого из трех данных шаров. Определите высоту «горки» из четырех шаров.

Answer 1

Пусть четыре шара радиуса R c центрами A, B, C, D касаются друг друга и первые три из них – плоскости a в точках A1, B1, C1 (смотри прилагаемый рисунок).

Тогда точки A, B, C, D являются вершинами правильной пирамиды с ребром 2R. Вершина D этой пирамиды проектируется в центр основания О.

Находим АО = (2/3)h = (2/3)*(2R√3/2) = 2R√3/3.

OD = √((2R)² - OD²) = √(4R² - (12R²/9)) = √(8R²/3) = 2R√(2/3).

Осталось прибавить по радиусу выше точки D и ниже плоскости АВС.

H = 2R√(2/3) + 2R = 2R((√(2/3)) + 1).