При каких значениях a неравенство имеет не менее пяти целочисленных решений

Question

При каких значениях a неравенство имеет не менее пяти целочисленных решений

Answer 1

При каких значениях a неравенство имеет не менее пяти целочисленных решений х²+у²-а²≤6х-4у+а-13.

Объяснение:

х²+у²-а²≤6х-4у+а-13  ,

х²-6х+у²+4у≤а²+а-13  ,

х²-6х+9-9+у²+4у+4-4≤а²+а-13  , свернем формулы

(х-3)²+(у+2)²≤а²+а-13 +13 ,

(х-3)²+(у+2)²≤а²+а . Данное неравенство ограничивает часть плоскости внутри круга с центром (3;-2) . Если r=1 , то целочисленных решений  пять ( четыре лежат на окружности и одно в центре) . Значит радиус r≥1 или r²≥1.

Выражение а²+а =r²  и тогда а²+а≥1   , а²+а-1≥0 .  Нулями данного квадратного трехчлена являются значения  :

а₁=                   , а₂=    .   Метод интервалов :

+++++++[ ]- - - - - -[ ]+++++++.    ⇒

х∈(-∞ ; ] и [ ; +∞).

Answer 2

При каких значениях a неравенство x² +y²- a²≤ 6x - 4y+a -13 имеет не менее пяти целочисленных решений ?

Ответ:  a ∈ (-∞ ; (-1 -√5)/2 ]  ∪ [-1 +√5)/2 ; ∞)

Объяснение:

x² +y²- a²≤ 6x - 4y+a -13 ⇔(x²- 6x+9+y²) +(4y +4 )≤ a² + a ⇔

(x -3)²+ (y + 2)² ≤ a² + a. || Ясно (x -3)²+ (y + 2)² ≥ 0 , значит  неравенство  имеет  решений, если a² + a ≥ 0 ⇔ (a+1)a ≥0  ⇒ a∈( -∞ ;-1]∪ [0 ;∞). ||

если  a = -1 или a =0 → одно  решение:   (3 ; -2 ) .

(x -3)² + (y + 2)² = R² уравнения окружности с центром  в точке (3 ;-2)  

и  радиусом  R .                                  

Решение нераенства (x -3)² + (y + 2)² ≤  a² +a   точки  круга с центром  в точке (3 ;-2)  и  радиусом  R =√a(a+1) .                                    

R = 1  ровно  пять целочисленных решений ,  

R =√2 → 9  целочисленных решений   

имеет не менее пяти целочисленных решений , если

R² = a² +a  ≥ 1⇔ a² + a - 1 ≥ 0 ⇒  a ∈ (-∞ ; (-1 -√5)/2 ]  ∪ [-1 +√5)/2 ; ∞) .