Помогите Решите неравенство:

Question

Дан 1 ответ

Участник Знаний_zn · Answer 1 · 2024-08-14T15:17:55+0000

$\sqrt{x^{2} -9} \leq 2-\frac{2x}{3}$

ОДЗ :

$x^{2} -9 \geq 0\\(x-3)(x+3) \geq 0\\$

x Є (-∞ ; -3] U [3 + ∞)

------------------------------

Рассмотри первый случай, когда правая часть >= 0 мы можем возвести обе части в квадрат :

$2-\frac{2x}{3} \geq 0 | *3\\6-2x \geq 0\\2x\leq 6\\x\leq 3$

------------------

$x^{2} -9 \leq (2-\frac{2x}{3} )^{2} \\x^{2} -9 \leq 4-\frac{8x}{3} +\frac{4x^{2} }{9} | *9\\9x^{2} - 81\leq 36 - 24x + 4x^{2} \\5x^{2} +24x-117 \leq 0$

Приравняем левую часть к нулю, чтобы найти корни и разложить на множители:

$5x^{2} +24x-117 = 0\\D = 24^{2} +4*117 *5 =576 +2340 = 2916 = 54^{2} \\x1 = \frac{-24+54}{10} =\frac{30}{10} =3\\x2 = \frac{-24-54}{10} =-\frac{78}{10} =-7.8$

Разложим на множители по формуле A(x-x1)(x-x2) :

5x^2+24x-117 = 5(x-3)(x+7.8)

$5(x-3)(x+7.8) \leq 0$

Решим методом интервалов:

+ - +

---------------[-7.8]-----------------[3]---------------------

x Є [-7.8 ; 3]

Рассмотрим второй случай, когда правая часть меньше нуля :

Левая часть всегда больше либо равно 0, а если правая меньше нуля, то решений не существует, поскольку + всегда больше -, x Є ∅

Соединим все решения :

x Є [-7.8 ; 3] и x Є (-∞ ; -3] U [3 + ∞)

Ответ : x Є [-7.8 ; -3] U {3}, у вас такого варианта нет, но у меня полностью правильный ответ

P.S можете сами подставить любое число, которое не входит в мой промежуток, но подходит для всех ваших вариантов, например -10