Решите уравнение (кубическое ) x³+x²-1=0

+754 голосов
5.1m просмотров

Решите уравнение (кубическое ) x³+x²-1=0


Алгебра (18.4k баллов) | 5.1m просмотров
+66

методом Кардано можно решить, наверно

+116

у=х3 и у=-х2+1

+145

Там единственный корень, корень алгебраически трудно найти, так как он иррациональный скорее всего. Это видно хорошо графически построй 2 графика

Дан 1 ответ
+180 голосов

Сделаем замену: x=u-\frac{1}{3}. Подставим: u^3-u^2+\frac{u}{3} -\frac{1}{27} +u^2-\frac{2}{3}u+\frac{1}{9}-1=u^3-\frac{u}{3}-\frac{25}{27}=0\Leftrightarrow (3u)^3-3(3u)-25=0, после замены w=3u имеем: w^3-3w-25=0.

Пусть w=a+b, где a=m,\; b=\frac{1}{m}, здесь сразу заметим, что ab=1.

Подставляем: (m+\frac{1}{m})^3-3(m+\frac{1}{m})-25=0 \Leftrightarrow m^3+\frac{1}{m^3}+3m+\frac{3}{m} -3m-\frac{3}{m}-25=0. Далее: m^3+\frac{1}{m^3}-25=0 \Leftrightarrow m^6-25m^3+1=0, сделаем очередную замену: m^3=t, получим: t^2-25t+1=0, откуда t=\frac{25\pm 3\sqrt{69}}{2}. Понятно, что x=\frac{m+\frac{1}{m}-1 }{3}

Дальше распутываем клубок замен: m=\sqrt[3]{\frac{23\pm 5\sqrt{21}}{2}} (сразу заметим, что отрицательный корень не подходит. Это можно обнаружить, исследуя функцию). Итого: x=\frac{\sqrt[3]{\frac{25+3\sqrt{69}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{2}{25+3\sqrt{69}} }-1 }{3}.

(5.1k баллов)
+131

тут даже три комплексных

+110

тут есть два комплексных корня?