Ответ:
1)-(4sin²x-3)=2+4cos x
-4sin²x+3-2-4cosx=0
Заменим sin²x=1-cos²x
-4(1-cos²x)+1-4cosx=0
4cos²x-4cosx-3=0
Квадратное уравнение, замена cosx=t, | t|≤1
4t²-4t-3=0
D=(-4)²-4·4·(-3)=4(4+12)=4·16=64=8²
t=(4-8)/8=-1/2 или t=(4+8)/8=12/8>1
cosx=-1/2
x=±arccos(-1/2)+2πk,k∈Z
x=±(π-arccos1/2)+2πk,k∈Z
x=±(π- (π/3))+2πk,k∈Z
x=±2π/3+2πk,k∈Z
Здесь две серии ответов
х₁=2π/3+2πk, k∈Z или х₂=-2π/3 + 2πn,n∈Z
все ответы вида х₁ находятся во второй четверти
все ответы вида х₂ - в третьей
если дополнительное условие :sinx≥0,
то надо оставить ответы х₁
если нет такого условия, то оба ответа
2) tg²x+3ctg²х=4
\begin{gathered}tg ^{2}x+3\cdot \frac{1}{tg ^{2}x }-4=0, \\ \frac{(tg ^{2}x) ^{2}-4tg ^{2}x+3 }{tg ^{2}x }=0\end{gathered}
tg
2
x+3⋅
tg
2
x
1
−4=0,
tg
2
x
(tg
2
x)
2
−4tg
2
x+3
=0
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Решаем квадратное уравнение, замена переменной tg²x=t
t²-4t+3=0
D=(-4)²-4·3=16-12=4=2²
t=(4-2)/2=1 или t=(4+2)/2=3
tg²x=1 ⇒$$\left \ [ {{tgx=1} \atop {tgx=-1}} \right.$$
x₁= π/4 + πk, k∈Z или x₂=-π/4 + πn, n∈Z
tg²=3⇒$$\left \ [ {{tgx= \sqrt{3} } \atop {tgx=- \sqrt{3} }} \right.$$
x₃= π/3 + πm, m∈Z или x₄=-π/3 + πr, r∈Z
Ответ. x=±π/4+πk, k∈Z
x=±π/3+πn, n∈Z
3)2sin2x-5sin4x=0
Формула синуса двойного угла.
sin 4x=2 sin 2x·cos2x
2sin2x-5·2sin2x·cos2x=0
2sin2x(1-5cos2x)=0
Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю
sin2x=0 или 1-5cos2x=0
2х=πk, k∈Z или сos2x= 1/5 ⇒2x=±arccos(1/5) + 2πn, n∈Z
x=πk/2, k∈Z или х= ±1/2· arccos(1/5) +πn, n∈Z
Ответ. x=πk/2, k∈Z; х= ±1/2· arccos(1/5) +πn, n∈Z