Отрезок CH - высота прямоугольного треугольника ABC. Площади треугольников ACH и BCH равны 4 и 6 соответственно. Найдите длину гипотенузы AB.
Объяснение:
По свойству высоты прямоугольного треугольника СН²= АН*НВ (1)
S(CАН)=4=0,5СН*АН
S(СВН)=6=0,5СН*ВН. Умножим данные равенства
24=0,25 СН²*АН*ВН .
96=СН²*СН²
СН⁴=96
СН= ![\sqrt[4]{96}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B4%5D%7B96%7D "\sqrt[4]{96}")
= ![2\sqrt[4]{6}](https://tex.z-dn.net/?f=2%5Csqrt%5B4%5D%7B6%7D "2\sqrt[4]{6}")
Т.к. 4=0,5СН*АН ⇒ АН=![\frac{8}{2\sqrt[4]{6} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B8%7D%7B2%5Csqrt%5B4%5D%7B6%7D%20%7D "\frac{8}{2\sqrt[4]{6} }")
=![\frac{4}{\sqrt[4]{6} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Csqrt%5B4%5D%7B6%7D%20%7D "\frac{4}{\sqrt[4]{6} }")
6=0,5СН*ВН ⇒ ВН=![\frac{12}{2\sqrt[4]{6} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B12%7D%7B2%5Csqrt%5B4%5D%7B6%7D%20%7D "\frac{12}{2\sqrt[4]{6} }")
=![\frac{6}{\sqrt[4]{6} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B6%7D%7B%5Csqrt%5B4%5D%7B6%7D%20%7D "\frac{6}{\sqrt[4]{6} }")
.
АВ=АН+ВН= ![\frac{10}{\sqrt[4]{6} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B10%7D%7B%5Csqrt%5B4%5D%7B6%7D%20%7D "\frac{10}{\sqrt[4]{6} }")