В окружности радиуса 6 см проведена хорда АВ. Через середину М этой хорды проходит...

Question

В окружности радиуса 6 см проведена хорда АВ. Через середину М этой хорды проходит прямая, пересекающая окружность в точках С и Е. Известно, что СМ = 9 см, <АСВ = 30°. Найдите длину отрезка СЕ.</p>

Answer 1

Делаем рисунок к задаче. Треугольник АВС находится полностью в одной половине окружности. 

Соединим концы хорды АВ с центром окружности О. Получился равносторонний треугольник, так как центральный угол АОВ опирается на ту же дугу, на которую опирается вписанный угол АСВ, и поэтому угол АОВ равен 60 градусам. 

Отсюда АВ=6 см.

Вспомним, что точкой пересечения хорды делятся на отрезки, произведения которых равны.  

АЕ*ЕВ=СМ*МЕ.

Обозначим МЕ =х

3*3=9*х

х=1

МЕ=1

СЕ=9+1=10 см

Answer 2

1) Пусть O - центр окружности, тогда центральный угол AOB=2*30=60 градусов (т.к. вписанный угол BCA=30 градусов)

2) Проведём OM - т.к. OM проходит в середину хорды, то OM перпендикулярно AB.

3) Рассмотрим треугольник AOB - OM высота равнобедренного треугольника, значит и биссектриса. Угол MOB=60/2=30 градусов.

4) Треугольник MOB - прямоугольный с гипотенузой 6 (OB - радиус), значит катет BM, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, т.е. 6/2=3

5) Т.К. по условию MB=MA, то MA=3

6) Точка M внутренняя точка окружности, через неё проходят две пересекающиеся хорды, значит выполняется условие: BM*AM=EM*CM

7) с учётом вышенаписанного получим: 3*3=EM*9, отсюда EM=1.

8) CE=EM+MC=1+9=10 см