Через точку на поверхности шара проведены две плоскости, пересекающие его. Обе плоскости удалены от центра сферы на расстояние 2√3 см, угол между ними равен 60°. Найдите площади получившихся сечений.
Сечение шара плоскостью - круг. Так как оба сечения находятся на равном расстоянии от центра, их диаметры, а значит, и площади равны между собой.
Сделаем схематический рисунок сечения шара, проходящего через его центр и центры сечений.
На нём АВ= ВС - диаметры сечений, угол АВС=60º
Соединив А и С, получим равносторонний треугольник АВС, вписанный в окружность.
Расстояние от центра окружности до хорды - перпендикулярный ей отрезок. Он является радиусом вписанной в ∆ АВС окружности и, по свойству радиуса, перпендикулярного хорде, делит ее пополам.
АН=ВН=r сечения.
Центр описанной окружности треугольника лежит в точке пересечения его срединных перпендикуляров.
Высоты правильного треугольника - его медианы и срединные перпендикуляры. По свойству медиан точкой пересечения они делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
АО=2 ОМ=4√3
Площадь сечения - площадь круга с радиусом r=АН
По т.Пифагора r²=АН²=АО²=ОН²=36 см²
Ѕ=πr²=36π см²
