Cos(3x/2)-cos(x/2)=3(1+cosx)

Question

Cos(3x/2)-cos(x/2)=3(1+cosx)

Answer 1

Cos(3x/2)-cos(x/2)=3(1+cosx)

1+cosx = 2Cos^2(x/2)

x/2 = t;

Cos(3t) - Cos(t) =6Cos^2(x/2)

Cos(3t) = 4Cos^3(t) - 3Cos(t)

4Cos^3(t) - 3Cos(t) - cos(t) - 6Cos^2t) = 0

4Cos^3(t) - 4Cos(t) - 6Cos^2(t) = 0

2Cos(t)(2Cos^2(t) - 2 - 3Cos(t)) = 0; Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

2Cos(t) = 0 или (2Cos^2(t) - 2 - 3Cos(t)) = 0

Cos(t) = 0

t = П/2 +Пn (это частный случай), где n принадлежит Z.

2Cos^2(t) - 2 - 3Cos(t)= 0

Cos(t) = p,  - 1 >= p <= 1;</p>

2p^2 - 3p - 2 = 0

p1 = 2 (Не подходит)

p2 = -0,5

Cos(t) = -0,5

t = +-arccos(-0,5) + 2Пk, где k принадлежит Z.

t = +-2П/3 + 2Пk, где k принадлежит Z.

Проведём обратную замену.

t = x/2;

x/2 = П/2 +Пn, где n принадлежит Z.

x = П + 2Пn, где n принадлежит Z.

x/2 = +-2П/3 + 2Пk, где k принадлежит Z.

x = +-4П/3 + 4Пk, где k принадлежит Z.

Ответ: x принадлежит {П + 2Пn; +-4П/3 + 4Пk}, где n и k - принадлежат Z.