Часто бывает полезно преобразовать многочлен так, чтобы он был представлен в виде произведения нескольких сомножителей. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители . В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих сомножителей. При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма: вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки.
Способ вынесения множителя за скобки
Вынесение общего множителя за скобку. Из распределительного закона непосредственно следует, что ac+bc=c(a+b). Здесь c является общим множителем, который можно вынести за скобку.Этим правилом можно воспользоваться для вынесения множителя за скобки. ПримерРазложить многочлен на множители . Показать решение Имеем: . Ответ. .Смотреть изменение Изменить блок текста
Способ формул сокращённого умножения
Использование формул сокращённого умножения.Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения. Пример Разложить на множители многочлен . Показать решение Имеем: . Ответ. .Смотреть изменение Изменить блок текста
Способ группировки
Разложение многочлена на множители способом группировкиВ курсе алгебры важное место занимают тождественные преобразования. В тождественных преобразованиях наиболее трудным для практического применения является разложение многочлена на множители способом группировки.На практике, трудным является не столько понимание принципов вынесения за скобки общих множителей, сколько нахождение этих самых общих множителей в представленном для упрощения многочлене. Это и понятно — ведь для этого надо либо обладать интуицией, либо просто перебирать все возможные варианты до тех пор, пока не попадётся подходящий. В этом случае, наверняка, случатся проблемы с терпением и настойчивостью. Ведь в США были проведены исследования на предмет способности целенаправленно мыслить. Оказалось, что следить за ходом мысли средний американец способен в течение аж 3 минут. Очевидно, что таких мыслительных способностей явно не достаточно для практического овладения методом разложения многочлена на множители способом группировки.Сам способ группировки заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удаётся представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения.Итак, для тех, кто в седьмом классе обладает интеллектом, значительно превосходящим средний по америке, приведём пример.Пример. Разложить на множители многочлен .Решение. Сгруппируем слагаемые следующим образом:.В первой группе вынесем за скобку общий множитель , а во второй - .Получаем:.Теперь общий множитель также можно вынести за скобки