Х³- 4х² -4х +16=0 Помогите, пожалуйста!!!

Question

Дан 1 ответ

мохинсан_zn · Answer 1 · 2018-03-17T17:51:10+0000

Общий вид куб уравнения, имеет такие свойства:
$(x-a)(x-b)(x-c)=0;\\ (x^2-a\cdot x-b\cdot x+a\cdot b)(x-c)=0;\\ (x^2-(a+b)x+a\cdot b)(x-c)=0;\\ x^3-(a+b)x^2+a\cdot b\cdot x-c\cdot x^2+\cdot(a+b)\cdot c\cdot x-a\cdot b\cdot c=0;\\ x^3-(a+b+c)x^2+(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c)x-a\cdot b\cdot c=0\\$
таким образом имеем подобие теореми Виета, для кубических уравнений,
но самое главное, a,b,c-корни уравнения, то-есть если при старшей степени коєфициент 1, то если есть целые корни, то они будут сомножителями свободного элемента уравнения, в нашем уравнении это будет 16
16 нацело делиться на $\pm1,\pm2,\pm4,\pm8,\pm16$
+1:
$1^3-4\cdot1^2-4\cdot1+16 \neq 0;$
-1:
$(-1)^3-4\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)+16 \neq 0$
+2:
$2^3-4\cdot2^2-4\cdot2+16=8-16-8+16= 0$
ура, 2, есть корень
выделим множитель (x-2):
$x^3-2x^2-2x^2+4x-8x+16=0\\ x^2(x-2)-2x(x-2)-8(x-2)=0\\ (x-2)(x^2-2x-8)=0\\$
поищем остальные корни таким же методом для кваратического уравнения $x^2-2x-8=0$ :
+2:
$2^2-2\cdot2-8=4-4-8\neq0;$
-2: $(-2)^2-2\cdot(-2)-8=4+4-8=0;$
ура -2 корень уравнения, выделим множитель (х-(-2))->(x+2):
$x^2+2x-4x-8=0;\\ x(x+2)-4(x+2)=0;\\ (x+2)(x-4)=0\\$
значит х=2;-2;4 корни нашегог уравнения, интересно, что для квадратного уравнения, действует теорема Виета -(4+(-2))=-2 и $4\cdot(-2)=-8$
и дискриминант берёться
$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36;\\ x_{2}= \frac{-(-2)-\sqrt{D}}{2\cdot1}= \frac{2-6}{2}=\frac{-4}{2}=-2;\\ x_{3}= \frac{-(-2)+\sqrt{D}}{2\cdot1}= \frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4;\\$
проверка
$+2:\\ 2^3-4\cdot2^2-4\cdot2+16=8-16-8+16=0;\\ -2: (-2)^3-4\cdot(-2)^2-4\cdot(-2)+16=-8-16+8+16=0;\\ +4:\\ 4^3-4\cdot4^2-4\cdot4+16=64-64-16+16=0;\\$
Ответ: $x=\pm2;4$