Х³ -4х² -4х +16 = 0 Решите, пожалуйста!!!!!!!

0 голосов
32 просмотров

Х³ -4х² -4х +16 = 0 Решите, пожалуйста!!!!!!!


Алгебра (68 баллов) | 32 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов

Х²(х-4)-4(х-4)=0
(х-4)(х-2)(х+2)=0
х=4  х=2  х=-2

0 голосов

Общий вид куб уравнения, имеет такие свойства:
(x-a)(x-b)(x-c)=0;\\ (x^2-a\cdot x-b\cdot x+a\cdot b)(x-c)=0;\\ (x^2-(a+b)x+a\cdot b)(x-c)=0;\\ x^3-(a+b)x^2+a\cdot b\cdot x-c\cdot x^2+\cdot(a+b)\cdot c\cdot x-a\cdot b\cdot c=0;\\ x^3-(a+b+c)x^2+(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c)x-a\cdot b\cdot c=0\\
таким образом имеем подобие теореми Виета, для кубических уравнений,
но самое главное, a,b,c-корни уравнения, то-есть если при старшей степени коєфициент 1, то если есть целые корни, то они будут сомножителями свободного элемента уравнения, в нашем уравнении это будет 16
16 нацело делиться на \pm1,\pm2,\pm4,\pm8,\pm16
+1:
1^3-4\cdot1^2-4\cdot1+16 \neq 0;
-1:
(-1)^3-4\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)+16 \neq 0
+2:
2^3-4\cdot2^2-4\cdot2+16=8-16-8+16= 0
ура, 2, есть корень
выделим множитель (x-2):
x^3-2x^2-2x^2+4x-8x+16=0\\ x^2(x-2)-2x(x-2)-8(x-2)=0\\ (x-2)(x^2-2x-8)=0\\
поищем остальные корни таким же методом для кваратического уравнения x^2-2x-8=0:
+2:
2^2-2\cdot2-8=4-4-8\neq0;
-2:(-2)^2-2\cdot(-2)-8=4+4-8=0;
ура -2 корень  уравнения,  выделим множитель (х-(-2))->(x+2):
x^2+2x-4x-8=0;\\ x(x+2)-4(x+2)=0;\\ (x+2)(x-4)=0\\
значит х=2;-2;4 корни нашегог уравнения, интересно, что для квадратного уравнения, действует теорема Виета -(4+(-2))=-2 и 4\cdot(-2)=-8
и дискриминант берёться
D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36;\\ x_{2}= \frac{-(-2)-\sqrt{D}}{2\cdot1}= \frac{2-6}{2}=\frac{-4}{2}=-2;\\ x_{3}= \frac{-(-2)+\sqrt{D}}{2\cdot1}= \frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4;\\
проверка 
+2:\\ 2^3-4\cdot2^2-4\cdot2+16=8-16-8+16=0;\\ -2: (-2)^3-4\cdot(-2)^2-4\cdot(-2)+16=-8-16+8+16=0;\\ +4:\\ 4^3-4\cdot4^2-4\cdot4+16=64-64-16+16=0;\\
Ответ:x=\pm2;4

(11.1k баллов)