1)У треугольника со сторонами 18 и 9 проведены высоты к этим сторонам. Высота,...

Question

1)У треугольника со сторонами 18 и 9 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?мне кажется будет 2
2)Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 46°, 66° и 68°.
3)Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 34:13, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 39.мне ,кажется,будет 141
4)Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=5, AC=45.
5)В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 45 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90∘ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD , если AB=24 .

Comments

Там, где "кажется", все верно. В 2) весь прикол в том, что для тр-ка MNK это описанная окружность, и из её центра сторона KP против угла M видна под углом в 2 угла М. А эти центральные углы составляют 180° в сумме с углами ABC, то есть углы тр-ка ABC 180° - 2*46° = 88°; 48°; 44°;

---

В 4) из очевидного подобия AH/AB = AB/AC; AB^2 = 5*45; AB = 15;

---

Ну, тр-ки ABC и AHB подобны; Теперь 5) тут есть как бы 2 подзадачки. Во-первых, если продлить AB и DC до пересечения в точке E, то тр-к ADE прямоугольный. Так как ВCE подобен ADE, то BE/AE = 9/45 = 1/5; и AE - BE = 24; откуда BE = 6; AE = 30;

---

Во-вторых, теперь понятно, что расстояние от центра окружности О до точки N - касания с CD равно расстоянию от М - середины AB до Е. Это потому, что ОМEN (красиво обозначилось, прямо фильм ужасов :) ) - прямоугольник. То есть радиус окружности 6 + 24/2 = 18;

Answer 1

Пишу в ответ, потому что пятая задача полезная, хоть и простая, может, еще кому пригодится.
1) Произведение стороны на высоту к ней равно удвоенной площади, поэтому вторая высота 2.
2) Пусть M лежит на ВС, N на AC, K на AB. О - центр окружности. Пусть угол KMP = α; тогда угол KOP = 2*α; углы OKA и ONA - прямые, поэтому угол BAC = 180° - 2*α; также вычисляются и другие углы. 88°; 48°; 44°;
3) Центр вписанной окружности делит биссектрису в пропорции (a+b)/c; или (P-c)/c; где с - та сторона, к которой проведена биссектриса.
[Это очень просто доказать - надо два раза применить известное свойство биссектрисы, сначала к стороне с - она делится биссектрисой на отрезки ca/(a+b) и cb/(a+b); так как центр окружности лежит на всех трех биссектрисах, то сама биссектриса к стороне с делится биссектрисой к стороне b на отрезки в отношении a/(ca/(a+b)) = (a+b)/c;]
То есть 34/13 = (P - 39)/39; P = 141;
4) Тр-ки ABC и AHB подобны;AH/AB = AB/AC; AB^2 = 5*45; AB = 15;
5) Если продлить AB и DC до пересечения в точке E, то тр-к ADE прямоугольный. Так как ВCE подобен ADE, то BE/AE = 9/45 = 1/5; и AE - BE = 24; откуда BE = 6; AE = 30;
Пусть O - центр окружности, N точка касания её c CD, M - середина AB. О конечно же лежит на перпендикуляре к АВ в его середине, поэтому ОМEN ( :) ) - прямоугольник. То есть радиус окружности 6 + 24/2 = 18;

Comments

а в 2 как узнал что 48°; 44°; будет

---

сделай рисунок для 5 упражнения ,я просто не могу понять как ,как бы не старался