Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ ** отрезки АМ=10, МВ=18. Касательная к...

Question

Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ=10, МВ=18. Касательная к описанной окружности треугольника АВС, проходящая через т.С, пересекает прямую АВ в точке Д. Найти СД.

Answer 1

Рассмотрим треугольники ADC и CBD.
∠DCA=∠CBA (т.к. градусная мера дуги CA равна половине угла DCA почетвертому свойству углов, связанных с окружностью, и на эту же дугу опирается вписанный угол CBA, который тоже равен половине градусной меры дуги, на которую опирается по теореме).
∠CDB - общий для обоих треугольников, следовательно, по признаку подобия, треугольники ADC и CBD - подобны.
Следовательно, по определению подобных треугольников запишем:
CD/BD=AC/BC=AD/CD
AC/BC=AM/MB=10/18 (по первому свойству биссектрисы).
Из этих равенств выписываем:
AD=CD*10/18
BD=CD*18/10, (BD=AD+AB=AD+18+10=AD+28)
AD+28=CD*18/10
CD*10/18+28=CD*18/10
28=CD*18/10-CD*10/18
28=(18*18*CD-10*10*CD)/180
28*180=CD(324-100)
CD=28*180/224=180/8=22,5
Ответ: CD=22,5

---